一、概述

悬臂梁是工程结构中最常见的静定梁形式之一，一端为固定端约束，另一端为自由端，广泛应用于机床悬臂、支架、挑梁、模具卸料板导柱、机械操作臂等场景。本文整理集中力、均布载荷、集中力偶三种典型载荷下，悬臂梁的剪力、弯矩内力公式，以及挠度、转角变位计算公式，可直接用于强度校核与刚度验算，归入「机械设计实用速查手册」力学计算篇。

适用条件：等截面直梁、材料处于线弹性阶段、小变形假设；梁长为L，截面抗弯刚度为EI。

二、基本约定与符号说明

1. 坐标系：固定端为原点x=0，自由端位于x=L处，x轴沿梁轴线方向；
2. 内力正负：剪力使隔离体有顺时针转动趋势为正；弯矩使梁下部受拉为正；
3. 变位方向：挠度w向下为正，转角θ顺时针为正；
4. 单位统一：长度取m或mm，力取N或kN，刚度EI单位需与长度单位匹配。

三、悬臂梁内力计算公式

3.1 自由端受集中力F

• 剪力方程：F_S(x) = -F （0 ≤ x ≤ L）
• 弯矩方程：M(x) = F(L-x)
• 最大剪力：|F_S,max| = F，全梁均匀分布
• 最大弯矩：M_max = FL，位于固定端x=0处

3.2 全梁受均布载荷q（单位长度载荷）

• 剪力方程：F_S(x) = -q(L-x)
• 弯矩方程：M(x) = q(L-x)² / 2
• 最大剪力：F_S,max = qL，位于固定端x=0处
• 最大弯矩：M_max = qL² / 2，位于固定端x=0处

3.3 自由端受集中力偶M₀（顺时针为正）

• 剪力方程：F_S(x) = 0，全梁无剪力
• 弯矩方程：M(x) = M₀，全梁弯矩恒定
• 最大弯矩：M_max = M₀，全截面相等

四、悬臂梁变位（挠度与转角）计算公式

4.1 自由端受集中力F

• 挠曲线方程：w(x) = F x² (3L-x) / (6EI)
• 转角方程：θ(x) = F x (2L-x) / (2EI)
• 自由端最大挠度：w_max = FL³ / (3EI)，位于x=L处
• 自由端最大转角：θ_max = FL² / (2EI)，位于x=L处

4.2 全梁受均布载荷q

• 挠曲线方程：w(x) = q x² (x² – 4Lx + 6L²) / (24EI)
• 转角方程：θ(x) = q x (x² – 3Lx + 3L²) / (6EI)
• 自由端最大挠度：w_max = qL⁴ / (8EI)
• 自由端最大转角：θ_max = qL³ / (6EI)

4.3 自由端受集中力偶M₀

• 挠曲线方程：w(x) = M₀ x² / (2EI)
• 转角方程：θ(x) = M₀ x / EI
• 自由端最大挠度：w_max = M₀ L² / (2EI)
• 自由端最大转角：θ_max = M₀ L / EI

五、公式使用注意事项

1. 本文公式仅适用于等截面、均质材料、静定悬臂梁；变截面梁、阶梯梁需另行积分计算。
2. 多种载荷同时作用时，可采用叠加法：分别计算单载荷下的内力与变位，代数相加得到总结果。
3. 刚度验算需满足：最大挠度不超过许用挠度[w]，一般精密机械取[w] = L/500 ~ L/2000。
4. 强度校核需结合截面形状系数，由最大弯矩计算弯曲正应力：σ_max = M_max / W_z，其中W_z为抗弯截面模量。

六、计算示例

已知：悬臂梁长L=500 mm，自由端受集中力F=2 kN，梁截面抗弯刚度EI=2×10⁴ N·mm²。 求固定端最大弯矩与自由端挠度。 解：

1. 固定端最大弯矩 M_max = FL = 2000 × 500 = 1×10⁶ N·mm = 1 kN·m

2. 自由端挠度 w_max = FL³ / (3EI) = (2000 × 500³) / (3 × 2×10⁴) ≈ 2083 mm

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